Değişmez ÇokKatlı Tüpler

* For English

Daha önceki bölümcükte bahsedildiği gibi; Denge noktaları L1 ve L2 ‘deki periyodik yörüngelere asimtotik olan tüm yörüngeler bir tür Değişmez ÇokKatlı Tüpler (Invariant Manifold Tubes- IMT) oluşturur. Bu yörünge tüpleri karmaşık uzak görevleri dizaynında oldukça avantajlıdırlar, ve özellikle Düşük enerjili transferlerin (Low-Energy Transfers) ayrılmaz parçasıdır. IMT’ler aslında faz uzayında, M1 ve M2 Bölgesindeki transit ve transit olmayan yörüngelerin sınırıdır. Tahmin edilebileceği üzere, transit yörüngeler bir bölgeden diğerine transfer olurken, transit olmayan yörüngeler sadece bir bölgede kalırlar.

Yalnız Kısıtlı 3 cisim modelinde oraya çıkan bu IMT’lerin şaşırtmacalı bir özelliği vardır. Söylendiği gibi, IMT’ler denge noktaları civarındaki periyodik yörüngelere asimtotiktir ve onlar sayesinde çizilirler. Ama daha önce denge noktaları civarında bir çok periyodik yörünge olduğunu göstermiştik. Yani IMT’ler bu periyodik yörüngelerin her hangi birine ait olabilirler. Aslında düzlemsel (2 Boyut) durumdayken işimiz daha kolaylaşıyor, çünkü belli bir enerjide, 2 boyutlu düzlemsel olan sadece tek bir periyodik yörünge vardır, o da; yatay Lypunov yörüngesidir. Yani 2 boyutlu durumlarda, IMT’ler sadece yatay Lypunov yörüngesine göre çizilebilir. Ama 3 boyutlu durumlarda, her bir enerji seviyesi için, bir çok çeşit (Hale, Sanki Hale, Lissajous yörüngesi ve Dikey Lypunov Yörüngesi) ve sayıda periyodik yörünge vardır, ve elbette bu herbir periyodik yörüngenin kendisine ait IMT’leri vardır. Ama pratik olmak için IMT’ler daha çok 2 boyutlu durumlar için çizilirler, yada 3 boyutlu durumlar için, görece kısa periyoda sahip olan Hale yada Dikey Lypunov Yörüngesi kullanılarak  IMT’ler çizilebilir.

Değişmez ÇokKatlı Tüplerin (IMT) Çizilmesi;

Yukarda da değinildği gibi, IMT’ler, kolaylık olsun diye, görece kısa periyotlu periyodik yörüngeler (Halo ve Yatay yada dikey lyapunov yörüngeleri) kullanılarak çizilirler; ve böylece arzuya göre 2 yada 3 boyutlu IMT’ler pratik bir şekilde elde edilebilir. Bunun için öncelikle denge noktası civarında uygun bir periyodik yörünge seçilir. Bu periyodik yörüngeyi bulabilmek için, ya el yordamı ile deneme yanılma yapılır, yada Differantial corrector gibi yöntemler uygulanabilir. Uygun bir periyodik yörünge bulduktan sonra ise, bu yörüngedeki tüm yörünge verisi “belli” bir miktar bozuntuya uğratılır ve asimtotik yörünge’lerin (yani IMT’lerin) başlangıç koşulları elde edilir. Mesela periyodik yörünge verisi (P) ve Asimtotik yörünge (Xo) ise, başlangıç koşulları şu şekilde hesaplanır;

X0=P±ε

Periyodik yörüngenin yörünge verisi; P=[x, y, z, Vx, Vy, Vz] ve ε ise bozuntu miktarıdır. Elbette 2 boyutlu IMT’lerde z-bileşeni dahil edilmez. Bundan başka daha pratik olması açısından, “bozuntu” sadece X-bileşeni üzerine uygulanabilir. Ayrıca denklemdeki (±), asimtotik yörüngenin ne tarafa doğru akacağını belirler; L1 ve L2 denge noktalarına göre IMT’ler M1, M2 yada Dışarı bölgeye akabilir. Buna göre başlangıç koşulları;

  • zamanda ileriye doğru integre edilirse, Denge noktasından uzaklaşan IMT’ler elde edileceği için, bunlara; Kararsız IMT’ler denir,
  • Zamanda geriye doğru integre edilirse, Denge noktasına yaklaşan IMT’ler elde edileceği için, bunlara; Kararlı IMT’ler denir.

Hemen aşağıda, bu IMT’lerin 2 boyutlu yatay lyapunov yörüngesine göre çizilmiş durumları gösterilmekte. Yeşil renkte olanlar kararlı, yani Denge noktalarına (L1 yada L2’e) yaklaşan IMT’ler iken, kırmızı olanlar kararsız, yani denge noktalarından (L1 yada L2’den) uzaklaşan IMT’lerdir.

IMT for EM

Üstte ve altta, sırayla Dünya-Ay ve Güneş-Jüpiter sistemleri için çizilmiş IMT’ler görülmektedir. Resimlerdeki W notasyonu [W.S. Koon, M.W. Lo, J.E. Marsden and S.D. Ross]’ın kitabından örnek alınmıştır. Ayrıca resimlerde gösterilen tüp kesişimleri, önerilen Poinkare kesitlerine göre yapılabilir (bkz. üstteki resim U1, U2, U3 ve U4). Yani bir tüpten diğer tüpe atlarken bu (U1, U2, U3 ve U4) kesimlerden Poinkare (yüzey) kesiti alınırsa, atlama noktasının başlangıç koşulları bulunabilir ve böylelikle Düşük enerjili transferler (Low-Energy Transfers) gerçekleştirilebilir.

IMT for SJ

Ayırca, yukarıda gösterilen Güneş-Jüpiter sistemindeki siyahla çizilmiş Oterma kuyruklu yıldızın yörüngesi bu tarz düşük enerjili seyahatlere iyi bir örnek teşkil etmektedir. Şekillerde görüldüğü gibi, bir transfer yörüngesi olan Oterma yörüngesi tüplerin içinde seyahat ederek, Güneş-Jüpiter sistemi içinde bir süre rezonansa girmiştir.

Ayrıca aşağıda, Dünya Ay L1 noktasının 3 boyutlu Hale periyodik yörüngesinden çizilen IMT’lerin zaman içinde nasıl aktığını gösteren kısa bir videosu gösterilmektedir !

… ve bir kıyak yaparak, Dünya Ay L1 ve L2 noktalarının 3 boyutlu Hale periyodik yörüngesinden çizilen, kararlı ve kararsız IMT’lerin Matlab kodunu aşağıda veriyorum. Basitçe “copy/paste” yapıp “run” edin ! … ^_^

function manifolds_cr3bp
global mue ;
% writter: Asli Utku, 8D
mue=0.01215; C=3.16; bon=1-mue;
options = odeset('RelTol',1e-11,'AbsTol',1e-8);
figure
hold on
d=-2:0.03:2;
%..........Zero velocity surfaces ........
[X,Y,Z] = meshgrid(d,d,d);
 r1=((X + mue).^2+Y.^2+Z.^2).^(1/2);
 r2=((X + mue-1).^2+Y.^2+Z.^2).^(1/2);
 V=2*[(1/2)*(X.^2 + Y.^2)+(1-mue)./r1+mue./r2];
h = patch(isosurface(X,Y,Z,V,C),'FaceColor','black','EdgeColor','none');
camlight; lighting phong
alpha(0.1)
axis off
axis equal
% to focus to the neck reigon, make uncomment the below line
%zlim([-0.2 0.2]);xlim([0.7 1.3]);ylim([-0.2 0.2])
 view (3)
%----------------------------------------------------------------
% Equilibrium Points
y1=@(x)x-(1-mue)/(x+mue)^2+mue/(x-1+mue)^2;Lp1=fzero(y1,0);
y2=@(x)x-(1-mue)/(x+mue)^2-mue/(x-1+mue)^2;Lp2=fzero(y2,0);
y3=@(x)x+(1-mue)/(x+mue)^2+mue/(x-1+mue)^2;Lp3=fzero(y3,0);
Lp4x=0.5-mue; Lp4y=0.5*sqrt(3);
Lp5x=0.5-mue; Lp5y=-0.5*sqrt(3);
plot(Lp1,0,'r.')
plot(Lp2,0,'r.')
plot(Lp3,0,'r.')
plot(Lp4x,Lp4y,'g.')
plot(Lp5x,Lp5y,'g.')
plot(1-mue,0,'k.')
%--------------------------------------------------------------
% Halo around L1
x10=0.869581; x30=0; x50=-0.05;
x20=0; x40=-Velo(C,x10,x30,x50); x60=0;
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 3], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);
hx=x(:,1); hy=x(:,3); hz=x(:,5);
hvx=x(:,2); hvy=x(:,4); hvz=x(:,6);n=4;
% Halo around L2
x10=1.1173275; x30=0; x50=-0.03;
x20=0; x40=Velo(C,x10,x30,x50); x60=0;
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 3.6], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);
hx2=x(:,1); hy2=x(:,3); hz2=x(:,5);
hvx2=x(:,2); hvy2=x(:,4); hvz2=x(:,6);
%-----------L1 manifolds-----------
 % L1 unstable invariant manfold tube in side of neck region
 for i=1:53
x10=hx(n*i)+0.001; x30=hy(n*i); x50=hz(n*i);
x20=hvx(n*i); x40=hvy(n*i); x60=hvz(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 5], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)>bon
 son=ii;
 break
 end
end
plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'m')
 end
% L1 stable invariant manfold tube in side of neck region
 for i=1:53
x10=hx(n*i)+0.00001; x30=hy(n*i); x50=hz(n*i);
x20=hvx(n*i); x40=hvy(n*i); x60=hvz(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 -5], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)>bon
 son=ii;
 break
 end
end
plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'b')
 end
% L1 stable invariant manfold tube in side of inner region
for i=1:53
x10=hx(n*i)-0.0001; x30=hy(n*i); x50=hz(n*i);
x20=hvx(n*i); x40=hvy(n*i); x60=hvz(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 -6], [x10 x20 x30 x40 x50 x60 ],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)<0
 if x(ii,3)>0
 son=ii;
 break
 end
 end
end
 plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'g')
end
% L1 unstable invariant manfold tube in side of inner region
 for i=1:53
x10=hx(n*i)-0.002; x30=hy(n*i); x50=hz(n*i);
x20=hvx(n*i); x40=hvy(n*i); x60=hvz(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 6], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)<0
 if x(ii,3)<0
 son=ii;
 break
 end
 end
end
 plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'r')
 end
%------------L2 manifolds--------------------------------------
% L2 stable invariant manfold tube in side of neck region
 for i=1:54
x10=hx2(n*i)-0.001; x30=hy2(n*i); x50=hz2(n*i);
x20=hvx2(n*i); x40=hvy2(n*i); x60=hvz2(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 -4], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)<bon
 son=ii;
 break
 end
end
plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'b')
 end

 % L2 unstable invariant manfold tube in side of neck region
 for i=1:54
x10=hx2(n*i)-0.001; x30=hy2(n*i); x50=hz2(n*i);
x20=hvx2(n*i); x40=hvy2(n*i); x60=hvz2(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 4], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)<bon
 son=ii;
 break
 end
end
plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'m')
 end

% L2 stable invariant manfold tube in side of outer region
 for i=1:54
x10=hx2(n*i)+0.0001; x30=hy2(n*i); x50=hz2(n*i); 
x20=hvx2(n*i); x40=hvy2(n*i); x60=hvz2(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 -10], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)<0
 if x(ii,3)<0
 son=ii;
 break
 end
 end
end
 plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'g')
 end

 % L2 uninvariant manfold tube in side of outer region
 for i=1:54
x10=hx2(n*i)+0.0001; x30=hy2(n*i); x50=hz2(n*i); 
x20=hvx2(n*i); x40=hvy2(n*i); x60=hvz2(n*i);
[t,x]=ode45(@cr3bp_3b, [0 10], [x10 x20 x30 x40 x50 x60],options);m=length(t);
for ii=1:m
 if x(ii,1)<0
 if x(ii,3)>0
 son=ii;
 break
 end
 end
end
 plot3(x(1:son,1),x(1:son,3),x(1:son,5),'r')
 end
% oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
% halo orbits plot 
plot3(hx,hy,hz,'r') %L1
plot3(hx2,hy2,hz2,'r') %L2
%---------Jacobi integral--------------
function Vo=Velo(C,xi,yi,zi)
global mue ;
r10=sqrt((xi+mue).^2+yi.^2+zi.^2);r20=sqrt((xi-1+mue).^2+yi.^2+zi.^2);
OM0=0.5*(xi.^2+yi.^2)+(1-mue)/r10+mue/r20+0.5*mue*(1-mue);
Vo=sqrt(2*OM0-C);
%-----------------------------------
function dx = cr3bp_3b(t, x)
global mue ;
%CR3BP Equation of Motion
dx=zeros(6,1);
r1=sqrt((x(1)+mue)^2+x(3)^2+x(5)^2);
r2=sqrt((x(1)-1+mue)^2+x(3)^2+x(5)^2);
OMx=x(1)-(1-mue)*(x(1)+mue)/r1^3-mue*(x(1)-1+mue)/r2^3;
OMy=x(3)*(1-(1-mue)/r1^3-mue/r2^3);
OMz=-x(5)*((1-mue)/r1^3+mue/r2^3);
dx(1)=x(2);
dx(2)=2*x(4)+OMx;
dx(3)=x(4);
dx(4)=-2*x(2)+OMy;
dx(5)=x(6);
dx(6)=OMz;

Son olarak, aşağıda üsstteki matlab kodunun çıktısını (sıfır hız yüzeyleriyle verip), gözlerinizi şenlendiriyorum. Tüpler daha rahat seçilebilsin diye farklı renklerde çizilmiştir. Mesela, iç ve dış bölgelerdeki tüpler kararlı ise (yani L1 yada L2 denge noktasına yaklaşıyorsa) yeşil, kararsız ise (yani L1 yada L2 denge noktasından uzaklaşıyorsa) kırmızı çizilmiştir. Boğaz (yani M2 civarı) bölgesi içinse; kararlı ise (yani L1 yada L2 denge noktasına yaklaşıyorsa) mavi, kararsız ise (yani L1 yada L2 denge noktasından uzaklaşıyorsa) pembe çizilmiştir.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s