M1 Civarındaki Yörüngeler

Dairesel Kısıtlı 3-Cisim Modelinde, genellikle kütleli kabul edilen 2 cisimden biri diğerine göre oldukça büyüktür, ve büyük olan cisme M1 (birincil kütle) derken, küçük olanına M2 (ikincil kütle) denir. Elbette, M2 görece oldukça düşük olduğu için, M1 üzerindeki bozucu kütle çekim etkisi görece azdır, ve bu nedenle M1 civarıdaki hareketler görece klasik 2-cisim hareketine oldukça benzemektedir. Tek farkla; Klasik 2 cisim probleminde yörünge parametreleri (a,e,i, Ω, ω, f) her daim sabit iken, Dairesel Kısıtlı 3-Cisim Modelinde M1 civarındaki yörüngelerin parametrelere değerli sabit değildir, salınım yapar; ve yarı periyodik yörüngeler oluşur.

Kendisine etki eden bozucu etkilerin görece zayıf olmasında dolayı, M1 civarındaki yörüngeler Poincare Harita yöntemi de denilen, yüzey kesme yöntemi (section method) ile kolayca bulunabilir. Aşağıda bu tür bir haritanın basit bir örneği veriliyor. Bu haritayı elde etmek için yapmamız gereken; bir sürü yörüngeyi “belli” bir süre hesapladıktan (propogate) sonra, tüm bu yörüngelerin izdüşümü belli bir yüzeyde toplanır, ve aşağıdaki harita elde edilmiş olur.

Mesela, Dünya-Ay sistemi için, belli bir enerjide (C=3.16) hesaplanan bir sürü “direk” (yörünge doğrultusu dönen eksenle aynı doğrultuda) yörüngenin X-Vx yüzeyinde izdüşümü bu yukarıdaki haritayı verir. Haritada görülen iç içe daireler sanki-periyodik yörüngeleri temsil ederken, nokta gibi olan tam ortadaki daire tam periyodik yörüngeyi gösterir. Bu iç içe dairelerin etrafındaki karman çorman yayılmış noktalar ise, kaotik yörüngelerdir. Genellikle terminolojide, bu iç içe daireler “ada” olarak adlandırılırken, etraflarındaki dağınık noktalarda “deniz” yada “okyanus” denir. Böylece sanki kararlı “ada” bölgeleri, bir nevi kaotik “deniz” le çevrelenmişlerdir.

Haritada görülen bu adaların, konum uzayındaki şekilleri ise aşağıda gösterilmektedir.

Peki bu tür haritalar nasıl kullanılır ? Yani bu haritaya bakarak, mesela, yukardaki yörüngeleri nasıl çizdirdim ? Aslında gerçekten çok basit; 2 boyutlu 3 cisim probleminde, 2 konum ve 2 hız bileşeninden oluşan, 4 boyutlu faz uzayı vardır; [X, Y, Vx, Vy]. Yani aslında tüm bu yörüngeler 4 boyutlu bir faz uzayında hareket ederler. Sonra bu yörüngelerin, seçilen bir yüzeyde, izdüşümleri alınır, ve bir nevi 4 boyutlu faz uzayı 2 boyuta indirgenir. Yukardaki örnekte, seçilen yüzey, (X, Vx) yüzeyidir, yani Y=0’dır. Böylece bu haritadan seçeceğimiz her hangi bir noktadan X ve Vx bilgisini biliriz, ve zaten Y=0. Yani 4 değişkenden üçünü hemen belirleyebildik. Sonuncu bileşen ise Jacobi integrali kullanılarak hesaplanır (V²=2U(x,y)-C). Böylelikle, yüngemizi hesaplamak için gereken 4 boyutlu başlangıç koşullarını [X, Y, Vx, Vy]o basitçe bulduk. Mesela aşağıda ki gibi;

  • X=-0.505, Y=0, Vx=0.00, Vy=sqrt(V²-Vx²), 2 uçlu periodik yörünge,
  • X=-0.183, Y=0, Vx=0.00, Vy=sqrt(V²-Vx²), 3 uçlu periodik yörünge,
  • X=-0.062, Y=0, Vx=0.00, Vy=sqrt(V²-Vx²), 4 uçlu periodik yörünge,
  • X=-0.310, Y=0, Vx=0.58, Vy=sqrt(V²-Vx²), 5 uçlu periodik yörünge,
  • X=-0.185, Y=0, Vx=1.60, Vy=sqrt(V²-Vx²), 7 uçlu periodik yörünge.

C=3.16, ve μ=0.01215 (Dünya-Ay için kütle oranı) ‘dır …. ^_^

Poincare Harita yöntemi ile ilgili daha ayrıntılı bir başlığı daha sonra yayınlayacağım.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s