Kısıtlı 3 Cisim Problemindeki Hareketler

* For English

Dairesel kısıtlı 3 cisim modeli lineer olmayan bir dinamik sistem olduğu ve Ayrıca 2 cisim problemindeki gibi zeki bir çözüm türetimi yapılamadığı için, kapalı, genel analitik bir çözümü yoktur. Bu nedenle problemi çözmeye çalışırken, bir takım linerizasyon yada perturbasyon yöntemleri kullanılıyor, ama bu yöntemlerde sadece çok kısıtlı çözümler sunabiliyor. Ama en pratik bir şekilde, bu tür bir dinamik sistemin yörüngeleri nümerik yöntemlerle, yani integratörler kullanılarak çiziliyor. Ayrıca bazı özel ve işe yarar yörüngeleri bulabilmek için, nümerik yöntemlerle destekli, Differantial Corrector yada Harita yöntemleri gibi işlemler kullanılır. Bir kere yörüngeleri çizebildikten sonra, birbirinde çok farklı ve birbiri arasında sınıflara ayrılan bir çok çeşit yörünge ile karşılaşırız. Elbette bu kadar çok çeşit yörüngeyi sınıflandırmak çok zor olacaktır ama genede bazı yönlerden temel bir takım sınıflandırma yapıp, işi kolaylaştırmak mümkün.

İlk sınıflandırmamızı, yörüngelerin hallerine göre yapabiliriz;

  • Kapalı (yani dengeli) yörüngeler; Bu yörüngeler dinamik sistem içerisinde belli bir bölgeyle sınırlı kalmış kapalı gibi bir yörünge çizerler. Ne kadar zaman geçerse geçsin hep aynı çevrede dolanırlar, ve sanki periyodik hareketler yaparlar; ya gerçekten periyodiktirler, ya sanki-periyodik olarak salınım yaparlar, yada kaotik bir şekilde ama belli bir çevreden hiç ayrılmayacak şekilde dolanırlar. Ama ne olursa olsun bölgelerini terk etmezler. Şekillerine, büyüklüklerine ve dolandıkları bölgelere göre sayısız küme ve ailede kapalı yörünge çeşitleri vardır. Ayırca not düşeyim; her periyodik yörünge dengeli değildir, hatta bazıları oldukça dengesiz ve dinamik olarak çok hassastırlar, ve yapay bir kontrol uygulanmadıkça bölgelerini kolayca terk edebilirler. Bu tür yörüngelere dengesiz periyodik yörüngeler denir.
  • Açık (yani dengesiz) yörüngeler; Basitçe, yörüngeler sadece belli bir bölgede dolanmazlar, enerjilerinin yettiği  her bölgeye gidebilirler, sanki serseri gibi oradan oraya dolanırlar. Ve nereye gidecekleri çok zor kestirilir yada tahmini imkansızdır.
  • Çarpan  (M1 yada M2’e çarpan) yörüngeler; Bu yörüngeler belli bir süre dolandıktan sonra, eninde sonunda M1 yada M2’ye düşerler yada çarparlar. Aslında M1 ve M2, noktasal parçacık gibi düşünülürse, bu yörüngeler ya açık yada kapalı olarak sınıflandırılır. Ama bu kütleleri hacimli düşündüğümüzde, bu yörüngelerden bazıları bu hacimlerin içinden geçecek ve böylelikle çarpan yörüngeler olacaktır.

Bundan başka türlü bir sınıflandırma daha yapılabilir. Daha önce gösterildiği gibi, Dairesel kısıtlı 3 cisim modelinin hareket denklemleri dönen eksenlere göre yazılmıştır. Yani yörüngeler, bu dönene eksene göre ve ona karşı olamak üzere ikiye ayrılabilir. O zaman;

  • Yörüngenin hareketi dönen eksenle aynı yönde ise, “ileri (Direct)” yörünge,
  • Eğer hareket dönen eksenle ters yönde ise, “geri (Retrograde)” yörünge denir.

Retrograde, yani geri yörüngeler gökcisimlerin etrafında dönerken daha stabil (kararlıdır), çünkü gökcisimlerinin kendi aralarında dönerken yaratıkları merkez kaç etkisine ters yönde oldukları için bu dönüşten çok fazla etkilenmezler ve daha kararlı bir yörüngede seyrederler. Geri yörüngelerin, enerji seviyeleri ne olursa olsun, çok büyük bir çoğunluğu “kararlı periyodik” yada sanki periyodik hareketleri içindedir. Sadece çok yüksek enerjili olanlar biraz kararsız olma eğilimindedir. Ama Direct, yani ileri yörüngeler, kütleli cisimlerin dönme hareketinden (santrifüj) daha çok etkilendikleri için, görece çok daha kararsızdırlar, ve özellikle sıfır hız yüzeylerinin kendilerine izin verdiği her yöne gidebilme eğilimindedirler. Ayrıca, Kısıtlı 3-cisim probleminde 2 kütleli cisim olduğundan, ve genellikle bir kütlenin diğerinde daha ağır olduğundan; ileri yörüngeler bu daha ağır olan kütlenin etrafından daha kararlı seyrederken, büyük kütlenin bozucu etkisinden dolayı küçük kütleli gökcisminin etrafından oldukça kararsız ve kaotiktir. Aslında ileri yörüngeler her ne kadar oldukça kararsız ve kaotik olsalar da, uygun yöntemlerle “avantajlı” olanlar tespit edilebilip, Kütle çekim yardımlı transferlerde kullanılabilirler.

Bunlardan başka, kısıtlı 3-cisim modelindeki yörüngeler başka türlerde de sınıflandırılabilir; Mesela M1 (Büyük kütle) yada M2 (küçük kütle) çevresinde dolanan diye. Bu tarz sınıflandırma da önemli olabilir, çünkü bu modelde genellikle M1, M2’den görece daha ağır olduğundan, dinamik olarak M1 etrafında ki dolanımla, M2 etrafındaki dolanım oldukça farklı karakterde olur. Yüksek enerji seviyesinde, Yörüngeler M1 etrafında iken, klasik 2 cisim problemine benzer hareketler içindedirler. Ama M2 etrafında iken, M1’in kütle etkisi oldukça baskın olur ve o civardaki hareketler bildiğimiz 2 cisim probeminden çok daha farklı seyreder. Kısacası,  M1 civarında ki yörüngeler, ileri yada geri olsun, görece daha kararlıdır, ve Poincaré Map yöntemi ile kolayca tespit edilebilirler. Yalnız M2 civarındaki yörüngeler sadece çok özel durumlarda kararlı olurlar, ve M1’in kütle etkisi yüzünden genellikle oldukça kararsız ve kaotiktirler. Bu nedenle, M2 civarındaki kütle çekim yardımlı “yakalama (capture)” problemleri oldukça zor ama bir o kadar ilginç bir problemdir. Ayrıca M2 civarındaki yörüngeleri kararlı yapan özel koşullar arasında, yörüngelerin “geri” harekette olması, yada sıfır hız yüzeylerince kısıtlanması sayılabilir. Bundan başka, görece yüksek enerji seviyelerindeyken (L1 ve L2 kapısı açıkken), belli bir  eğimde (inclination) olan yörüngeler, M2 civarında daha kararlıdır. Bunu daha sonra özel bir haritalandırma yöntemi ile göstereceğim. ;)

Ayrıca hareketler, denge noktaları civarında olmalarına göre de sınıflandırılabilir, Çünkü denge noktaları civarında oldukça avantajlı park yörüngeleri vardır, ve bunlar bir çok çeşit uzay görevinde yararlı olabilirler. Daha önce denge noktaları ve enerji yüzeyleri bölümünde değinildiği gibi, Kısıtlı 3- cisim problemi 3 tane kararsız (L1, L2 ve L3) ve 2 tane de kararlı (L4 ve L5) denge noktası (DN) vardır.

  • Kararlı DN civarındaki hareketler; L4 ve L5 kararlı DN olduklarından, civarlarındaki yörüngelerde genellikle kararlı ve yarı-periyodik yörüngelerdir. Park yörüngesi olmaya oldukça elverişlidirler. Ve doğada da buna örnek olabilecek bir çok örnek bulunur. Mesela Trojan astreoidleri Güneş-Jüpiter sisteminin L4 ve L5 noktalarında kararlı bir şekilde otururlar.
  • Kararsız DN civarındaki hareketler; L1, L2 ve L3 denge noktaları kararsız olduklarından, civarlarındaki hareketlerde kararsız olur. Ama bazı linerizasyon yöntemleri kullanılarak bu civarlardaki hareketlerin dinamik özellikleri çözülebilir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, kararsız DN civarındaki hareketler aslında 4 çeşittir;

—◊—

tayin edilen renklere göre ;

Black  → karasız periyodik yörünge

Green → asimtotik yörünge

Red     → transit yörünge

Blue   → transit olmayan yörünge

—◊—

Kararsız Denge noktaları civarındaki karasız periyodik yörüngeler Halo şeklinde yuvarlak  olunca Halo yörüngesi, yada Lissajous gibi quasi (Sanki) periyodik hareket yapıyorsa, Lissajous yörüngesi diye adlandırılır. Aslında o civarda, daha fazla çeşit ve ebatta periyodik yörüngeler vardır, ve bu tür yörüngeler genellikle bilimsel uzay görevlerinde park yörüngesi olarak kullanılırlar; mesela, SOHO and Genesis. Ama bu yörüngelerde durabilmek için sürekli bir yapay kontrol makenizması kullanılması gerekir.

Yukarda, yeşil renkte gösterilen asimtotik yörüngeler aslında, siyah olarak gösterilmiş periyodik yörüngeye asimtotiktirler (yani bir anlamda sonsuzda teğettir). Bu asimtotik yörüngeler “düşük enerji transferi” olarak tabir edilen kütle çekim yardımlı transferlerde büyük önem taşırlar. Çünkü, Eğer özellikle Halo yörüngesine teğet olan tüm asimtotik yörüngeleri çizersek, sonunda bir “Transfer tüpü (invariant manifold tubes)” oluşacaktır, ve Bu transfer tüpünü kullanarak, çok cisimli sistemlerde bir yerden bir yere hiç yada çok çok az yakıt harcayarak gidebileceğiz. Bu tür transfer türü litaratürde, gezegenler arası ulaşım ağı (Interplanetary Transport Network) olarak adlandırılmıştır. (Mesela Hiten Görevi buna çok iyi bir örnektir). Not; aslında kararsız denge noktaları civarındaki her periyodik yörüngeyi kullanılarak, bu transfer tüpleri elde edilebilir, ama tüplerin şekilleri periyodik yörüngenin şekline göre değişecektir. O nedenle genellikle transfer tüpleri, en basit şekilli periyodik yörünge olan Halo’ya göre oluşturulur.

Yukardaki şekilde kırmızı ile gösterilen transit yörüngeler, aslında hemen yukardaki paragrafta bahsedilen transfer tüplerinin içindeyken bir bölgeden diğer bölgeye “karasız denge noktaları kapısından” geçen yörüngelerdir. Mesela belli bir enerji seviyesindeyken, M1 civarında biraz dolanıp sonra M2 civarına gelen bir yörünge, L1 kapısından geçen bir transit yörüngedir. Mavi ile gösterilen Transit olmayan yörüngeler ise sadece belli bir bölgede kalan, herhangi bir diğer bölgeye geçmeyen yörüngelerdir. Transit ve transit olmayan yörüngelerin kendilerine göre ayrı ayrı kullanım alanları vardır. Mesela transit yörüngeler basit bir mantıkla uzay transferlerinde kullanılırken, transit olmayan yörüngeler, çeşitli uzay görevlerinde park yörüngesi olarak kullanılabilirler.

Tezimde ki araştırma konum, M2 civarında ki yüksek enerjili yakalama (capture) yörüngelerinin belirlenmesi olduğu için, Ben M2 civarındaki ileri yörüngelerle ilgilenmekteyim. Özellikle bu tür yörüngeler, bilimsel park yörüngelerine ulaşmada yada çeşitli kurtarma görevlerinde oldukça pratik bir şekilde düşük enerjili (çok çok az yakıt kullanılan) çözümler sunduğu için önemliler. İlerleyen aylarda bu tür yörüngelerin nasıl tespit edildiğini gösteren bir haritalandırma yöntemini tanıtacağım. ^_^

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s