Enerji Yüzeyleri

* For English

Dairesel kısıtlı üç cisim modelinde, kütlesi yok sayılan üçüncü cisim (m3),  efektif potansiyel diyebileceğimiz bir alanda hareket eder. (-U) Potansiyel fonksiyon, aşağıda gösterildiği gibi, bu efektif potansiyel yüzeyini verir.

Direk bu potansiyel yüzeylere bakarak da, denge noktalarının kararlı yada kararsız olduğu daha net görülebilir; mesela L1, L2 ve L3 şekilde görüldüğü gibi “eyer (saddle)” noktalarının üzerinde olup kararsızdırlar. Ve aslında (+U) çıktısında çukurda kalan, ama lakin şekildeki (-U) çıktısında tepe noktasında olan L4 ve L5 noktaları kararlı denge noktalarıdır. Aşağıda ise, efektif potansiyel yüzeyinin çıktısını veren Matlab kodu sunulmakta;

function pot_fun
figure

mue=0.2; %---mass ratio

[X,Y] = meshgrid(-2:.01:2);
hold on
%potential function
 Z=-(X.^2+Y.^2)-(2.*(1-mue)./sqrt((X+mue).^2+Y.^2)+...
 2.*mue./sqrt((X-1+mue).^2+Y.^2))-0*mue*(1-mue);
 surf(X,Y,Z,'FaceColor',[1 0.99 1],'EdgeColor','none') %[1 0.99 1]
 camlight left; lighting phong
zlim([-3.8 -2.83])
alpha(0.5)% --- for transpancy
view([60 80])
grid on

Eğer bu efektif yüzeyden, belli bir değerinden (C) yatay bir kesit alırsak Hill yüzeyi denen ve m3’ün sebestçe seyahat edebileceği alanları gösteren sıfır hız yüzeylerini elde ederiz (2U-C). Aslında bu Hill yüzeyleri, hızı sıfıra eşitlenen Jacobi integrali fonksiyonundan (V²=2U-C) elde edilebilir ve, 2 boyutlu çıktısı alınırsa sıfır hız eğrileri, üç boyutlu çıktısı alınırsa sıfır hız yüzeyleri elde edilir.

Yukarıda 2 boyutlu Hill bölgeleri gösterilmekte. Üstteki resimde, bu bölgelerin genel olarak 3 kısma ayırabiliriz; iç kısım (m1 civarı), boğaz kısmı (m2 civarı) ve dış kısım (m1 ve m2’nin dışsal bölgeleri). Hill bölge denklemini veren (0=2U-C)’de jacobi sabiti olan C değeri değişirse, bu bölgelerin şekli ve büyüklüğü de değişebilir. Yukardaki Gif resminde  C’ye bağlı bu değişim hareketli bir şekilde gösterilmekte.

Aşağıda ise bu Hill bölgelerinin çıktısını veren Matlab kodu verilmekte. Basitçe kodu, matlab çalışma klasörüne kopyalayın ve sonra komut satırına;

  • 2 boyutlu çıktı için; zrvs(‘2d’, μ, C)
  • 3 boyutlu çıktı için; zrvs(‘3d’, μ, C, transparancy)

yazın. μ ; m1 ve m2 arasındaki kütle oranı, ve C ise kacobi sabitidir. Ayrıca 3 boyutlu çıktılar için şeklin şeffaflığı ayarlanabilir;  0 en şeffaf, 1 ise mattır; yani 0.5 değeri vermek daha iyi olacaktır. Mesela zrvs(‘3d’,0.01215,3.16, 0.5).

function zrvs(dim,mue,C,tra)
% plot the zero velocity surface
%dim : '2d' or '3d'
%mue : mass ratio
%C : jacobi cost.
%tra : transparancy
%
%exp: zrvs('3d',0.01215,3.16,0.6)
hold on
switch dim 
 case '3d'
%---------------------------------------------------------------
d=-2:0.05:2;
[X,Y,Z] = meshgrid(d,d,d);

r1=((X + mue).^2+Y.^2+Z.^2).^(1/2);
r2=((X + mue-1).^2+Y.^2+Z.^2).^(1/2);
 V=2*[(1/2)*(X.^2 + Y.^2)+(1-mue)./r1+mue./r2];
% you may change the color in below 
h = patch(isosurface(X,Y,Z,V,C),'FaceColor','white','EdgeColor','none');
camlight; lighting phong
alpha(tra)
%view(3) 
axis off
axis equal
%-----------------------------------------------------------------
 case '2d'
%-----------------------------------------------------------------
syms X Y
f=(X.*X+Y.*Y)+2.*(1-mue)./sqrt((X+mue).^2+Y.^2)+...
 2.*mue./sqrt((X-1+mue).^2+Y.^2)+mue.*(1-mue)-C;
ezcontour(f,[-2,2],[-1.5,1.5],300);
axis equal
grid on;
%-----------------------------------------------------------------
end

Zero Velocity Surfaces

******** ho ho ho *****

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s