Denge Noktaları

* For english

Kısıtlı 3 cisim probleminde, 5 tane denge (equilibrium) noktası vardır. Bu noktalar Lagrange noktaları olarak da adlandırılır, bazende “hareketsiz noktalar” diye; çünkü teorik olarak tam bu noktalarda bir cisim bırakılırsa dönen koordinat sistemi içinde hareketsiz (yani bir nevi dengede) kalacaktır. Bu noktaların konumları hareket denklemlerinde, basitçe hız ve ivme değerlerini sıfır yaparak bulunabilir. Bu 5 Lagrange noktasından 3’ü, yani L1, L2 ve L3, aslında “karasız” (unstable)’dır, ve aynı çizgi üzerinde olduklarından eşçizgisel yada doğrusal noktalar denir. O civar bir cisim bırakıldığın hemen o noktadan başka yere kaçar. Diğer ikisi, L4 ve L5, kararlı (stable)’dır; Yani bir cisim bırakıldığında o civarda kalabilir, ve formasyonları üçgene benzediğinden üçgensel noktalar olarak da adlandırılır. Bu noktaların neden stable ve unstable  olduğu, Jacobi integralinden elde edilen enerji yüzeyleri grafiğinden açık bir şekilde görülebilir.

Yukarıda ise, kütle oranlarının (μ) değişimiyle doğru orantılı olarak, denge noktalarının konumlarının değişimi, basit bir gif ile gösterilmektedir. Kırmızı noktalar kararsız olanları (L1, L2 ve L3) temsil ederken, Yeşil olanlar,  (L4 ve L5) kararlı noktaları temsil eder. Siyah noktalar ise M1 (soldaki) ve M2 (sağdaki) kütlelerin (yani temsili gök cisimlerinin) yerini gösterir. Eğer kütle oranı μ=0.5 ise (yani M1 ve M2 eşit kütledeyse), o zaman tüm noktalar mükemmel bir simetride oturur. Ama kütle oranı küçüldükçe, şekilde görüldüğü gibi noktaların konumları asimetrikleşir, ve L1 ve L2, M2’e (küçük kütleye doğru) kayar.

Bu denge noktaları sağladıkları dinamik özelliklerle, uzay görevi dizayncılarına bir çok avantaj sunarlar. Mesela Kararsız Lagrange noktaları civarlarında Halo ve Lissajous gibi periyodik yörüngeler vardır, ve bu görüngeler belli uzay görevleri için durak yada park yörüngeleri olarak kullanılabilir. Ayrıca bu noktalar civarındaki periyodik yörüngelere asimtotik olan yörünge kümelerinin oluşturduğu Tüpler (yani invariant manifold tubes), düşük enerjili uzay transferlerinde kullanılır.

Aşağıda ise, bu noktaların konumlarını hesaplayan bir matlab kodunu veriyorum. Aşağıdaki kodu, Matlab çalışma klasörüne kopyaladıktan sonra, matlam command line’nına, lagrange_points(μ,’L1′,’L2′,’L3′,’L4′,’L5′) yazıyorsunuz. μ burada arzu edilen bir kütle oranının sayısal değeri olacak, yani mesela 0.2.

function lagrange_points(mue,lp1,lp2,lp3,lp4,lp5)
y1=@(x)x-(1-mue)/(x+mue)^2+mue/(x-1+mue)^2;
y2=@(x)x-(1-mue)/(x+mue)^2-mue/(x-1+mue)^2;
y3=@(x)x+(1-mue)/(x+mue)^2+mue/(x-1+mue)^2;

Lp1=fzero(y1,0);
Lp2=fzero(y2,0);
Lp3=fzero(y3,0);
Lp4x=0.5-mue;
Lp4y=0.5*sqrt(3);
Lp5x=0.5-mue;
Lp5y=-0.5*sqrt(3);
hold on

switch lp1
 case 'L1'
plot(Lp1,0,'r.');text(Lp1,0,['L_1'],'HorizontalAlignment','right');
 otherwise
end
switch lp2
 case 'L2'
plot(Lp2,0,'r.');text(Lp2,0,['L_2'],'HorizontalAlignment','right');
 otherwise
end
switch lp3
 case 'L3'
plot(Lp3,0,'r.');text(Lp3,0,['L_3'],'HorizontalAlignment','right');
 otherwise
end
switch lp4
 case 'L4'
plot(Lp4x,Lp4y,'g.');text(Lp4x,Lp4y,['L_4'],'HorizontalAlignment','right');
 otherwise
end
switch lp5
 case 'L5'
plot(Lp5x,Lp5y,'g.');text(Lp5x,Lp5y,['L_5'],'HorizontalAlignment','right');
 otherwise
end
grid on

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s