Kısıtlı 3-Cisim Probleminin Hareket Denklemleri

* For English

Dairesel Kısıtlı 3 cisim probleminde, m3’ün kütlesi, M1 ve M2’nin büyük kütlelerine göre çok küçük kabul edildiğinden, kütlesi yok sayılır. Böylece M1 ve M2 kütleleri kendi kütle merkezleri çevresinde klasik dairesel Kepler hareketi yaparken (yani mean motion (ω) is sabit ve ω=2π/T (T sistemin periyodu), M1 ve M2 kütke çekim kuvvetleriyle m3 etkileyecek ama m3 onların hareketini etkilemeyecek.

Problemi daha da basitleştirmek içinse, hareket denklemleri boyutsuz formda ve tek bir parametreye bağlı olacak şekilde yazılır; o parametre ise M1 ve M2’nin kütle oranı olan μ’dür. Ayrıca M1 ve M2 düzgün dairesel hareket yaptıkları için, kendi dönen eksenlerinde sabit görüneceklerdir. Bu nedenle, modeldeki hareketlerin doğasının daha iyi anlaşıla bilmesi için, hareket denklemleri atalet (inertia) ekseninde değil, dönen (rotated) eksende yazılır. Yani bu modelin hareket denklemleri, boyutsuz formda ve dönen eksenlerde yazılmış hali aşağıda ki gibidir;

Burada μ1 ve μ2 , M1 ve M2’nin boyutsuz kütle büyüklüklerini ve ayrıca kütle merkezlerinden uzaklığını temsil eder. r1 ve r2 ise M1 ve M2’nin sırayla m3’den uzaklığıdır. Ve hepsinin denklemleri aşağıdaki gibidir.

Ayrıca, Ux, Uy, Uz , Potansiyel fonksiyonun (U), sırasıyla x,y ve z’ye göre türevini verir; Mesela Ux, U’nun x’e göre türevidir ve Potansiyel fonksiyon (U);

Ayrıca, enerjinin korunumundan elde edilen Jacobi Integral, bize fazladan bir denklem daha sağlar;

V²=2U-C

V, burada hızdır  (V²=V²x+V²y+V²z), ve C ise Enerji sabitide denebilen Jacobi Sabitidir. Jacobi Integrali genelde, hareket denlemlerinde kullanılacak başlangıç koşullarını (genellikle hızı) hesaplamada ve ayrıca m3’ün potansiyel hareket alanını gösteren sıfır hız yüzeylerini çizmede kullanılır. Aşağıdaki Matlab’da yazılmış programı incelerseniz, daha iyi anlarsınız. Kodu basitçe kopyalayıp çalıştırmak yeterli. Ayrıca arzu ederseniz, başlangıç noktalarıyla ve parametrelerle de oynayabilirsiniz. İyi eğlenceler !

function CR3BP
global mue
% --- Boyutsuz Form ------

mue=0.01215; % Dünya-Ay kütle oranı
xo=0.93; yo=0.00; zo=0.04; % başlangıç posizyonu
T=50; % Zaman 
C=3.16; % Jacobi Sabiti

V=Velo(C,xo,yo,zo); % Başlangıç hızı
Vx=0; Vy=-V; Vz=0; % x, y ve z hızları
Xo=[xo yo zo Vx Vy Vz]; % başlangıç pozisyon ve hızı
options = odeset('RelTol',1e-11,'AbsTol',1e-11); % set timestep
[t,x]=ode45(@cr3bp_3d, [0 T], Xo ,options); 

 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
axis equal
 grid on

%----- Başlangıç Hızı Hesaplama -------- 
function Vo=Velo(C,xi,yi,zi)
global mue ;
r10=sqrt((xi+mue).^2+yi.^2+zi.^2);r20=sqrt((xi-1+mue).^2+yi.^2+zi.^2);
OM0=0.5*(xi.^2+yi.^2)+(1-mue)/r10+mue/r20+0.5*mue*(1-mue);
Vo=sqrt(2*OM0-C);
%----- Hareket Denklemleri --------
function dx = cr3bp_3d(t, x)
global mue ;
dx=zeros(6,1);
r1=sqrt((x(1)+mue)^2+x(2)^2+x(3)^2);
r2=sqrt((x(1)-1+mue)^2+x(2)^2+x(3)^2);
dx(1)=x(4);
dx(2)=x(5);
dx(3)=x(6);
dx(4)=2*x(5)+x(1)-(1-mue)*(x(1)+mue)/r1^3-mue*(x(1)-1+mue)/r2^3;
dx(5)=-2*x(4)+x(2)*(1-(1-mue)/r1^3-mue/r2^3);
dx(6)=-x(3)*((1-mue)/r1^3+mue/r2^3);

Son olarak, boyutsuz formda elde edilen yörüngeleri, boyutlu (yani gerçek değerlerine) dönüştüren dönüşüm denklemlerini veriyorum;

Burada x,y,z ve x,y,z üssü nokta olanlar, yukardaki hareket denklemlerinden elde edilen boyutsuz yörünge bilgisidir. r12, M1 ve M2 arasındaki gerçek uzaklık ve ω=2π/T (T , M1, M2 sisteminin periyodudur). r(xyz) ve v(xyz) ise dönüştürülmüş boyutlu (yani gerçek) yörünge bilgisidir. Ayrıca basitçe boyutsuz zamanı ω’ye bölerek gerçek uçuş süresini de hesaplayabiliriz.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s