Üçgenler – Triangles

Geometrik şekillerin en basitlerinden bir tanesi Üçgendir. 3 köşe ve 3 kenardan oluşan oldukça basit bir şekildir üçgen, ama sahip olduğu 3 kenarın çizildiği yüzeye yada oluşturulma biçimine göre çeşitlilik kazanabilmektedir. O zaman gelin bu çeşitliliği teker teker bakalım, ve çok basit sandığımız şeylerin bile ne kadar karmaşıklaştığını görelim;

triangle is one of the basic shapes of geometry: a polygon with three corners or vertices and three sides or edges which are line segments. But these line segments may not be always straight as usual, they may be also circular arc that makes many triangles types. So lets see these triangles;

_______________________________Δ_______________________________

Düz Üçgenler; Bu en bilinen ve alışık olduğumuz üçgenlerdir. 3 köşesi ve 3 kenarı vardır. Bir düzlem üzerine çizilirler ve kenarları da dümdüzdür. İç açıları toplamı 180º (π)’dir. Bunun kanıtı ise yandaki şekilde kolayca görülebilir. 

Plane Triangle; This is the classic and usual triangle which we are the most familiar. They lay (or drawn) on planar surface. As usual there are 3 corners and 3 straight sides. Sum of all inner angles is 180º (π), which its proof is shown in left figure;

Küresel Üçgenler; Bu üçgenler düz yüzeye değil, küre üzerine çizilirler, o nedenle onlara küresel üçgen denir, bkz. yandaki şekil. Bu türdeki bir üçgenin iç açıları toplamı 180º (π) ve 540º (3π) arası değişir. Yani mesela, üçgen kürenin çok küçük bir alanına çizilirse, o zaman eğimli yüzey düz yüzeye yakınsar, ve sanki “düz üçgene” benzer. Ama kürenin çok büyük bir alanına (mesela neredeyse yarım küresini kaplayacak şekilde) çizilirse, o zaman üçgenin her 3 köşesindeki açılar 180º (π)’ye kadar açılır ve iç açılar toplamı 540º (3π)’ye kadar genişleyebilir.

Spherical Triangle; This triangle lays on spherical surface, so they’re called Spherical Triangle, see right figure. As usual there are 3 corners but 3 circular arcs as sides. Sum of all inner angles  is between 180º (π) and 540º (3π). It means; if triangle lays (or is drawn) on a very small part of the sphere, then surface convergences to straight plane, and triangle looks like plane triangle. But if it is drawns a very large part of spherical surface (such as max. half hemisphere), so every 3 angles may expand up to 180º (π), so sum of all angles convergences 540º (3π).

Dairesel Üçgenler; Üçgenler familyasındaki en egzantrik üçgenlerdir. Bu üçgenler küresel üçgenlere benzerler ama küre üzerine değil düz yüzey üzerine çizilirler. Aslında düz yüzeye çizilmiş değişik boyutlardaki 3 dairenin kesişiminden ve/veya teğet olmasından meydana gelirler. Yani kenarları düz çizgiden değil, daire yayından meydana gelir. İç açıları toplamı ise kenar yaylarının içe yada dışa bombeli olmasına göre 0º’den 540º (3π)’ye kadar değişebilir. Eğer Dairesel üçgenlerin kenarları şekildeki gibi (bkz; turuncu ABC üçgeni), dış yaylarının hepsi dışa bombeli olursa, kürsel üçgenler gibi, iç açıları toplamı 180º (π) ve 540º (3π) arası bir değer alabilir. Yada yeşil A’BC üçgeni yada mavi A’BC’ gibi bazı kenarları dışa bazısı içe bombeli olabilir. Ve yahut diğer şekil gibi Deltoid‘e benzeyen, 3 teğet daireden meydana gelebilir, bkz; sarı ABC üçgeni. Bu durumda dairsel üç genin iç açıları toplamı tam 0º olur. Kısacası bu üçgenler, bir tarafı teğet dairelerden bir tarafı kesişen dairelerden, içe ve/veya dışa bombeli olaraktan bir çok çeşitte çizilebilirler. Ayrıca, tüm dairsel yaylar dışa bombeli ve eşitse (turuncu üçgen gibi), bu özel durum Reuleaux üçgeni olarak adlandırılır.

Circular Triangle; These are the most eccentric trianges in Triangle Family. It looks like spherical triangle, but it lay on plane, and is drawn from intersection of 3 different size of Circle. It means, the edges are not straight line, they are circular arcs.  Sum of its inner angles can vary between 0º and 540º (3π), depend on its edges are cambered inside or outside. If all arcs are cambered to outside as orange triangle ABC in left figure, then sum of its inner angles can vary between 180º (π) and 540º (3π), as in spherical triangles. Or some its edges are cambered inside or outside as in green A’BC triangle or blue A’BC’ triangle. And or it may be composed by tangential of 3 different circle, as in yellow ABC triangle, in other figure; which looks like Deltoid. In this case, sum of the all inner angles can be oº. In short, these triangles can be varied according to tangent and/or intersect og circles, or camber side (inner or outer side) of their erges. Also, in the special case of three equal arcs beginning in the angles of an equal triangle, it is called the Reuleaux triangle.

Dairesel üçgenlerdeki özel durumlardan biri de, Arşimed‘ın  arbelos (yada ayakkabı yapım bıçağı) olarak tanımladığı şekildir. Üsteki mavi A’BC’ üçgeni gibi olabilir yada sağdaki mavi boyalı alan gibi olan bu üçgenin, 3 köşesi ve 3 tane de yarım daire kenarı vardır. Eğer yandaki şekil gibi bu üçgen, 2 dairenin büyük daire içinde teğet olmasıyla oluşuyorsa, iç açıları toplamı 0º’dır.

As another special case for circular triangles, Archimedes described the arbelos or shoemaker’s knife. The curve resembles the blade of a knife used by ancient cobblers. Such as, as seen in upper blue A’BC triangle, or blue area in right figure. In the case of the shape in right figure, then they are 3 corners and 3 edges as semicircle arcs. Ans sum of inner angles of this triangle is 0º :).

Source; Wolfram.TriangleWolfram.CircularTriangleWolfram.SphericalTriangle

2 thoughts on “Üçgenler – Triangles

  1. peki küresel üçgenlerden 3 açılı 2 köşeli bir üçgen çizebilrimisin

    • Üçgenin tanımına göre, 3 köşeli ve 3 kenarlı, kapalı bir yüzey oluşturan çokgenlere üçgen denir. Yani aslında 2 köşeli bir şekil üçgen ailesine girmez.
      Peki 3 açılı 2 köşeli bir şekil (çokgen, yüzey, hatta hacim) yapılabilir mi sorusuna gelirsek, şu linkteki şekle bakmanı öneririm ; http://mathworld.wolfram.com/SphericalLune.html
      KüreselAy (Yada Karbuz dilimi kabuğu) diyebileceğimiz bu şeklin de 2 köşesi, ve 3 açısı (ikisi köşelerinde, üçüncüsü ise linkteki şekilde gösterilen θ açısı) vardır.
      Açıkçası bu aklıma ilk gelen cevaptı, belki biraz düşünülüre başka çeşitli şekiller ve kombinasyonlar da çıkabilir o_O

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s